La fisica del 2018, tra dubbi e scoperte (Natalie Wolchover)

Tra particelle elementari e ottetti. La fisica matematica Cohl Furey

Cosmologia, fisica e astronomia stanno attraversando un periodo di particolare vitalità, tra la confusione legata alla messa in discussione di teorie ritenute consolidate o promettenti e la grande apertura a nuovi scenari dovuta a risultati inaspettati.

Dieci anni fa era praticamente una verità sacrosanta tra i fisici che l'universo fosse iniziato con un'improvvisa espansione dello spazio nota come inflazione cosmica.

Inoltre, i fisici credevano che la materia oscura del cosmo fosse costituita da nuvole invisibili di particelle inerti e pesanti, soprannominate WIMP, e che le leggi della natura rispettassero la supersimmetria, un ordinato rispecchiamento della materia e delle forze.

Tutto quello che era rimasto da fare era raccogliere le prove di queste soluzioni ad alcuni dei più grandi misteri dell'universo.

Quelle prove non sono mai arrivate. Oggi, la storia dell'origine del cosmo è messa in dubbio, l'identità della materia oscura è aperta a ogni ipotesi e la supersimmetria è tutt'altro che scontata, lasciando delle lacune nelle nostre leggi della natura.

Se a questo si aggiunge il mistero dell'energia oscura, i paradossi dei buchi neri e le bizzarrie quantistiche, è chiaro che il campo della fisica fondamentale sta vivendo un periodo sia di confusione sia di tonificante apertura a nuove idee.

Quest'anno non ha portato indizi significativi o risposte ad alcuni dei misteri fondamentali della fisica. Anzi, quei misteri si fanno sempre più fitti. Al contrario, i fisici della materia condensata, che studiano gli esotici comportamenti emergenti di un gran numero di particelle, e gli astronomi, armati di potenti nuovi telescopi, stanno letteralmente nuotando nei dati e nelle scoperte.

Perché il rompicapo del buco nero di Stephen Hawking continua a sconcertare

Il celebre fisico britannico Stephen Hawking è morto il 14 marzo scorso all'età di 76 anni. Hawking amava scommettere con i colleghi su questioni cruciali della fisica teorica. Nel 1991, scommise che l’informazione che cade in un buco nero viene distrutta senza poter essere più recuperata.

Hawking ha perso la scommessa; i fisici ora credono che l'informazione sfugga in qualche modo ai buchi neri. Ma il modo in cui ne esce – una questione sollevata dalla scoperta di Hawking della radiazione di un buco nero – è diventato un importante volano della ricerca in fisica fondamentale. Un approccio sempre più popolare è stato studiare la questione trattando i buchi neri come ologrammi.

Il sussurro delle prime stelle alimenta il dibattito sulla materia oscura

A marzo, alcuni scienziati hanno riferito che un gruppo di piccole antenne radio nell'entroterra australiano, l'esperimento EDGES, ha rilevato una banda di assorbimento spettrale proveniente dalle prime stelle.

L'intensità del segnale, che indica quanta luce era assorbita da quelle stelle, era sorprendentemente forte, suggerendo che il cosmo primordiale fosse significativamente più freddo di quanto si pensasse. Un cosmologo ha ipotizzato che il vorticoso gas di quell’epoca avrebbe potuto essere raffreddato da interazioni con un tipo di materia oscura non standard, ma questa idea non ha retto alla prova del fatti. Vale la pena tenere d'occhio i prossimi studi sul presunto segnale dell'alba cosmica.

L'orbita straordinaria di un nuovo mondo punta al Pianeta Nove

Gli astronomi discutono da diversi anni sull'esistenza di un pianeta gigantesco oltre l'orbita di Nettuno. A maggio è stato individuato un altro corpo roccioso, più piccolo, che ha aggiunto prove indiziarie al caso del "Pianeta Nove". Per quanto riguarda trovarlo, però, il potenziale nono pianeta potrebbe essere essenzialmente invisibile agli osservatori attuali.

Andando ben oltre il nostro sistema solare, nello scorso aprile la pubblicazione di misurazioni dettagliate di oltre un miliardo di stelle della Via Lattea da parte del telescopio spaziale Gaia ha stimolato una nuova comprensione di come la nostra galassia si è formata ed evoluta. Gli astronomi hanno identificato popolazioni anomale di stelle che sembrano conservare il ricordo di un'antichissima collisione tra la giovane Via Lattea e una galassia nana. "Ci sono detriti dappertutto", ha spiegato Vasily Belokurov dell'Università di Cambridge.

La matematica particolare che potrebbe essere alla base delle leggi della natura

Mentre i ricercatori si scervellano sull'insieme apparentemente casuale di particelle elementari e forze, nuove scoperte alimentano il vecchio sospetto che questi ingredienti scaturiscano dalla logica di strani numeri in otto parti chiamati "ottetti". La fisica matematica Cohl Furey ha trovato alcuni intriganti nuovi collegamenti tra particelle elementari e ottetti, ma resta da vedere se porteranno a una svolta o a un vicolo cieco.

L'energia oscura potrebbe essere incompatibile con la teoria delle stringhe

A partire dall'estate scorsa, i fisici hanno discusso un'ipotesi che sembra mettere il nostro universo in contrasto con la teoria delle stringhe.

L'ipotesi afferma che mentre l'universo si espande, la densità di energia nel vuoto dello spazio deve diminuire più velocemente di un certo tasso. La regola sembra valere in tutti i modelli semplici di universi basati sulla teoria delle stringhe, il che suggerisce che potrebbe valere in tutto il "paesaggio" di possibili universi che la teoria consente.

Ma la regola viola due diffuse convinzioni sull'universo attuale: considera impossibile sia l'immagine standard dell'espansione attuale del cosmo, dominata dall'energia oscura, sia il modello principale della sua nascita esplosiva, la teoria nota come inflazione cosmica.

L'ipotesi ha causato confusione, ma "anche, ovviamente, enorme eccitazione", ha detto il fisico Timm Wrase, perché "ha molte implicazioni di grande portata per la cosmologia".

Perché il modello a molti mondi ha molti problemi

Quest'anno, il secolare dibattito sul significato della meccanica quantistica è stato riacceso da diversi esperimenti, reali e mentali, che contribuiscono alla discussione sulla realtà in un universo probabilistico.

L'articolo di "Quanta" più commentato del 2018 è stato una revisione critica della sempre più popolare "interpretazione dei molti mondi", che ipotizza l'esistenza di un numero quasi infinito di universi che riproducono in parallelo tutte le possibili realtà consentite dalla meccanica quantistica. L'autore, il giornalista Philip Ball, ha definito i problemi che scaturiscono da questa idea "soverchianti".

Per quanto riguarda i risultati da osservare nei prossimi anni, i fisici della materia condensata hanno trovato segni di un limite fondamentale di velocità in materiali quantistici e hanno riflettuto sulle atmosfere quantistiche recentemente proposte. L'esperimento MiniBooNE ha riportato possibili prove di un quarto tipo di neutrino, che, se verificato, rivoluzionerebbe la fisica.

L'originale di questo articolo è stato pubblicato il 21 dicembre 2018 da QuantaMagazine.org, una pubblicazione editoriale indipendente online promossa dalla Fondazione Simons per migliorare la comprensione pubblica della scienza. La traduzione e l'editing sono stati curati da “Le Scienze”, dal cui sito ho ripreso il testo. (S.L.L.)

La sfida (im)possibile. Contare i numeri primi (Alessandro Zaccagnini)

Sir Michael Atiyah, celebre matematico

Qualche settimana fa la comunità internazionale dei matematici è stata scossa da un annuncio sorprendente: Sir Michael Atiyah, pluripremiato matematico di quasi 90 anni, in una conferenza ad Heidelberg ha sostenuto di avere finalmente dimostrato la Congettura di Riemann, uno dei più difficili problemi aperti di tutta la matematica.

Proviamo a spiegare di che cosa si tratta. Ricordiamo che i numeri primi sono quegli interi positivi come 2, 3, 5, 7, 11, che hanno esattamente due divisori, e cioè sé stessi e il numero 1. Per inciso, è preferibile non considerare primo il numero 1, perché questo costringerebbe a dare molte definizioni successive, necessarie nella teoria dei numeri primi, in modo piuttosto scomodo. Già i matematici greci del tempo di Euclide (III secolo a.C.) sapevano che esistono infiniti numeri primi, cioè che la lista data qui sopra prosegue senza limite. Una domanda ragionevole è: quanti sono i numeri primi fino a mille? Un milione? Un miliardo? C’è un modo per rispondere senza doverli elencare tutti? Anche avendo a disposizione un computer potentissimo, è chiaro che alzando l’asticella troviamo presto un limite invalicabile, una quantità per la quale una risposta diretta a questa domanda è impossibile.

Se invece ci accontentiamo di una risposta abbastanza precisa, non del tutto esatta ma non troppo difficile da calcolare, possiamo usare una formula scoperta alla fine del XVIII secolo da un giovanissimo matematico tedesco, Carl Friedrich Gauss. Gauss aveva il curioso passatempo di contare il numero di numeri primi in intervalli di mille interi consecutivi e, sulla base dei dati raccolti pazientemente per anni, aveva notato che la sua formula, scoperta quando era ancora adolescente, pur non essendo esatta era piuttosto accurata. Per dare una prospettiva al nostro discorso, è utile ricordare che, nella sua lunga e fecondissima vita di matematico, Gauss non è riuscito a dimostrare rigorosamente che la sua formula, pur nei suoi limiti, sia sostanzialmente giusta.

La dimostrazione è arrivata solo alla fine del XIX secolo e si basa in modo essenziale sulle idee esposte da Georg Bernhard Riemann in un brevissimo articolo pubblicato nel 1859. Gli articoli scritti in riviste specializzate sono il mezzo con cui i matematici comunicano ricerche e scoperte: contengono i calcoli, o almeno una parte significativa, che servono a dare una dimostrazione formale dei teoremi enunciati, in modo da convincere i colleghi della correttezza dei risultati. Riemann, tra i giganti della matematica di tutti i tempi, a differenza dei suoi predecessori ha scritto pochissimi articoli nella sua vita relativamente breve e tormentata dalla malattia, ma ciascuno di questi articoli ha aperto un nuovo campo della matematica, dall’analisi complessa alla geometria differenziale alla teoria dei numeri di cui parliamo qui. Una sola tra le molte affermazioni contenute nell’articolo di Riemann del 1859 non è stata dimostrata, da lui stesso o da altri matematici. Si tratta appunto della Congettura di Riemann, che, in attesa della conferma della validità della strategia abbozzata da Atiyah, resta ancora oggi aperta, a quasi 160 anni dalla sua prima formulazione.

Come abbiamo ricordato sopra, Gauss ha proposto una formula per contare, approssimativamente, quanti sono i numeri primi più piccoli di un certo numero molto grande. La formula è relativamente semplice da calcolare ma non è esatta: le sue previsioni sono corrette entro un certo intervallo. È un po’ come prevedere che domenica prossima a mezzogiorno ci sarà una temperatura di 20 gradi, con un errore in più o in meno di un grado. A voler essere pignoli, Gauss non è riuscito a determinare l’ampiezza di questo intervallo di indeterminazione, anche se è chiaro da quanto ha scritto in alcune lettere che si rendeva conto di aver scoperto una formula molto accurata. L’obiettivo principale di Riemann era appunto riuscire a valutare con precisione la bontà della formula di Gauss. In particolare, se vale la Congettura di Riemann, è possibile ridurre moltissimo l’incertezza, cioè l’ampiezza dell’intervallo fra il valore esatto e quello dato dalla formula di Gauss: tornando alla metafora qui sopra, è come predire che la temperatura sarà di 20 gradi, con un errore in più o in meno di un centesimo di grado.

Distribuzione gaussiana dei numeri primi (Wikipedia Commons)

Ci si può chiedere come mai si investa tempo a cercarne la dimostrazione: nella matematica avrebbe conseguenze non solo sul problema di come sono distribuiti i numeri primi, che è interessante di per sé, ma le tecniche dimostrative sarebbero applicabili ad altri problemi. Inoltre, molte dimostrazioni sarebbero enormemente semplificate. A molti di noi capita spesso di dover enunciare due versioni dei propri teoremi, la più interessante delle quali è preceduta dalla fatidica frase «Supponiamo che sia vera la Congettura di Riemann». In generale, inoltre, occuparsi di numeri primi, nel XXI secolo, è utile non solo per una ristretta cerchia di matematici. Per esempio oggi sappiamo che ci sono abbastanza numeri primi per far funzionare i protocolli crittografici con i livelli di sicurezza dei dati adeguati alla vita moderna.

Tornando ad Atiyah, chi in questi giorni ha provato a cercare reazioni in rete, avrà notato una robusta dose di scetticismo. Trattandosi di una novità potenzialmente rivoluzionaria, la dimostrazione sarà sottoposta a un esame rigorosissimo, perché affermazioni straordinarie richiedono dimostrazioni altrettanto straordinarie. In questo momento è impossibile prendere posizione, dato che il professor Atiyah ha distribuito solo un sunto di 5 pagine, insufficiente per farsi un’idea precisa della dimostrazione completa: verosimilmente sarà lunga almeno un centinaio di pagine e sarà sottoposta al più scrupoloso vaglio degli esperti.

La cautela non dipende dall’età di Sir Michael: Leopold Vietoris, un matematico austriaco, ha pubblicato un articolo di ricerca quando aveva 103 anni. La visione tradizionale della matematica come sport per giovani è sempre più difficile da sostenere: i matematici attivi ben oltre l’età della pensione crescono senza sosta.

In conclusione, cosa cambia nella vita quotidiana di tutti noi? Poco o nulla: non dovremo cambiare le password, non è in pericolo la sicurezza dei protocolli crittografici che più o meno consapevolmente usiamo tutti i giorni. Cambia qualcosa per qualche centinaio di persone nel mondo che, nei congressi specializzati, non dovranno sentire i colleghi iniziare le conferenze con la frase «Supponiamo che sia vera la Congettura di Riemann». Ma il desiderio di conoscere se c’è qualche regolarità nella distribuzione dei numeri primi sembra andare oltre la comunità degli specialisti, come dimostra l’interesse emerso nelle ultime settimane.

La Lettura – Il Corriere della Sera, 14 ottobre 2018

La matematica inafferrabile alla ricerca di territori inesplorati (Giulio Giorello)

Spesso gli studiosi somigliano a Cristoforo Colombo: partono con un programma di ricerca e arrivano dove non si aspettavano

Una catena di astrazioni potenzialmente infinita collega i pastori antichi che contavano le pecore agli apparati di calcolo che oggi servono alla dimostrazione di congetture sofisticate.

Yuri Manin

«La biologia studia gli organismi viventi; l'astronomia i corpi celesti; la chimica la varietà della materia e i modi delle sue trasformazioni... ma che cosa studia la matematica?», chiede il grande matematico russo Yuri Manin, ora alla Northwestern University a Evanston nell'Illinois. La domanda sembra assillare non pochi studenti ai quali, forse, manca il coraggio di rivolgerla al loro insegnante. La differenza importante, però, è che Manin ha tentato una risposta: «La matematica ha a che fare con concetti che si possono trattare come se fossero oggetti reali». Concetti che devono essere sufficientemente chiari da essere riconoscibili in ogni contesto in cui possano venire utilizzati, ma anche dotati di «forti potenzialità di connessione con altri concetti dello stesso tipo». Tali connessioni possono a loro volta assurgere a oggetti, iniziando «una gerarchia di astrazioni» che in linea teorica non ha fine: così, per esempio, l'algebra ha fatto diventare le operazioni aritmetiche i suoi nuovi oggetti, ecc. Salendo in questa gerarchia, comunque, non si perde il contatto con la realtà: decollando dal loro terreno di origine le nozioni matematiche si rivelano capaci di applicazioni insospettate, sia nella spiegazione dei fenomeni naturali sia nell'intervento tecnologico.

Pensiamo alla lunghissima storia che lega la prima attività del contare - coi vecchi e familiari numeri interi uno, due, tre ecc. - ai computer superveloci. Qualche millennio fa alcuni «protomatematici», ovvero prudenti pastori e sagaci amministratori, «numeravano pecore in fenicio», per dirla con una battuta del poeta Ezra Pound; oggi potenti apparati di calcolo contribuiscono a dimostrare sofisticate congetture, realizzando un'economia di pensiero che cambia la natura stessa del lavoro umano. Questo e altri aspetti della ricerca matematica sono messi in luce dall'articolo di Manin che apre il secondo volume della serie (di quattro) La matematica, a cura di Claudio Bartocci e di Piergiorgio Odifreddi (Einaudi). È dedicato a Problemi e teoremi, cioè alla linfa vitale di un'attività che forse più di ogni altra, a parte la musica, è insieme comprensione scientifica e opera d'arte, costruzione linguistica ed espressione di razionalità.

Il lettore vi troverà la storia delle grandi congetture che hanno resistito agli sforzi umani per decenni o addirittura secoli, cedendovi solo di recente, come «l'ultimo teorema di Fermat» (dimostrato da Andrew Wiles) o la congettura di Poincaré (dimostrata da Grigori Perelman), e quelle che ancora restano delle sfide aperte all'immaginazione di coloro che amano leggere nel grande libro matematico del mondo. È il caso, per esempio, della celebre «ipotesi di Riemann», cui è dedicato nel volume il bel saggio di J. Brian Conrey. E tutti i collaboratori mostrano come problemi e teoremi possono anche venire immersi in «programmi di ricerca», simili, per certi versi, a carte geografiche in cui alcune aree sono raffigurate con notevole chiarezza (sono quelle da dove partiamo: gli elementi di cui siamo sufficientemente sicuri), mentre altre vengono ricostruite sulla scorta di analogie (sono le «terre incognite»: i nuovi settori da investigare) - sicché le indagini qui assumono i caratteri dell'avventura, non troppo diversamente dall'impresa di Colombo. Com'è noto, questi si sbagliò nel suo tentativo di raggiungere l'Oriente passando per l'Occidente; ma l'ostacolo che trovò sulla sua rotta verso le Indie doveva rivelarsi un continente ricco di risorse inaspettate. E - dal calcolo infinitesimale alle geometrie non euclidee, dalla teoria dei numeri allo studio delle probabilità, dalle matematiche combinatorie alla topologia generale - l'impresa dei matematici ha saputo trovare la sua «America della conoscenza».

Si è trattato di un tipo di esplorazione così vario e complesso da rendere impossibile una rigida definizione dell'essenza della matematica. Sono stati soprattutto i filosofi a cimentarsi in questa impresa degna del despota Procuste; ma appena ne avevano tracciati i confini, si accorgevano che ne era rimasta esclusa una qualche componente di grande rilevanza e fascino. E forse la matematica è simile a un organismo vivente, che non si può costringere in uno spazio angusto, come faceva quel mitico tiranno, senza ucciderlo.

Un po' malignamente Manin osserva come, al tempo dell'antica Roma, che si veniva aprendo sempre di più alla cultura greca e a quella orientale, la matematica non ebbe grandi riconoscimenti: i valori imperiali di coraggio, onore, gloria, disciplina le lasciavano poco spazio. Colpa degli stessi matematici? Quando si mettono al tavolo e iniziano a lavorare, essi «dimenticano valori in conflitto come autorità, efficienza, ambizione, fede e così via». Ma questa indipendenza è il segreto della loro forza: non solo nei confronti del potere, ma anche della stessa filosofia, che talvolta cerca di rinchiudere l'animale matematico in gabbia, salvo accorgersi che, appena serrato il chiavistello, questo è evaso. Dobbiamo allora rinunciare a qualsiasi filosofia della matematica? O magari a qualunque filosofia, senza ulteriori qualificazioni? Le categorie filosofiche, al contrario dei concetti matematici, difficilmente diventano «oggetti» di quel tipo di indagine operativa che consente al matematico di trovare «al di là della superficie delle apparenze» (come diceva Bernhard Riemann) connessioni profonde tra campi apparentemente scollegati. Né esse hanno l'incisività delle idee portanti della fisica o della biologia - capaci di rinnovare di continuo ingegneria e biotecnologie. E infine, se è la matematica a innervare concettualmente l' impresa della conoscenza, c' è ancora bisogno di una filosofia che ci dica lei che cos' è la razionalità, e che cos' è la realtà? Mi ricordo che (un po' di anni fa) il mio maestro e amico Ludovico Geymonat, di formazione sia filosofica che matematica, ammoniva noi giovani a non cadere nella trappola di definizioni frettolose, guardando invece alla «effettualità» della pratica matematica (tra l'altro, segnalo che Bollati Boringhieri ha ristampato, di Geymonat, la Storia e filosofia dell'analisi infinitesimale, in origine 1948, con una nuova introduzione di Gabriele Lolli, che bene mostra come quel libro non sia affatto invecchiato). Alle prese con problemi formidabili, armato degli strumenti concettuali che la tradizione gli fornisce, ma al tempo stesso sospettoso di tutto quello che viene dato semplicemente per scontato, il matematico creativo è davvero il cittadino di un paese ove «regna la libertà», come diceva Georg Cantor, che edificò nell'Ottocento l'imponente teoria dei «numeri infiniti», nonostante l'ostilità di autorevoli colleghi e le perplessità di importanti filosofi. Glossa Manin: questa libertà è «la libertà di scelta tra alternative incompatibili», e perciò - aggiungerei io - è un' assunzione di responsabilità. E dove c' è libertà c' è anche spazio per la (buona) filosofia.

Corriere della Sera, 29 novembre 2008

L'abisso dell'infinito e l'audacia di Newton (Voltaire)

Isaac Newton

Il labirinto e l’abisso dell’infinito rappresentano una nuova strada percorsa da Newton, e da lui deriva il filo che può farci da guida. Anche in questo sorprendente complesso di novità, suo precursore è Cartesio: nella sua geometria, egli procedeva a grandi passi verso l’infinito, ma si arrestò sull’orlo di esso. Wallis, alla metà circa del secolo scorso, fu il primo che ridusse una frazione, con una divisione perpetua, a una serie infinita. Milord Brouncker si servì di tale serie per

Voltaire

la quadratura dell’iperbole. Mercator pubblicò una dimostrazione di tale quadratura. È press’a poco in quel tempo che Newton, all’età di ventitré anni, inventava un metodo generale per fare su tutte le curve ciò che si era appena tentato sull’iperbole.

Questo metodo di sottomettere ovunque l’infinito al calcolo algebrico si chiama calcolo differenziale o delle flussioni, e calcolo integrale. È l’arte di numerare e di misurare con esattezza ciò di cui non si può nemmeno concepire l’esistenza.

In effetti, non credereste che ci si voglia burlare di voi se vi si dicesse che esistono linee infinitamente grandi le quali formano un angolo infinitamente piccolo? Che una retta, ch'è retta finché è finita, mutando infinitamente poco in direzione, diviene una curva infinita, e che una curva può diventare infinitamente meno curva? Che vi sono dei quadrati d’infinito, dei cubi d’infinito, e degli infiniti d infinito, di cui il penultimo è nulla in confronto all’ultimo?

Tutto ciò, che a prima vista sembra il colmo dello sragionamento, rappresenta in realtà il massimo dell’acume e dell’audacia dello spirito umano, e costituisce il metodo per trovare verità che fino allora erano sconosciute.

Questa costruzione tanto ardita è poi basata su idee molto semplici. Si tratta di misurare la diagonale d’un quadrato, di ottenere l’area di una curva, di trovare la radice quadrata di un numero che non ne ha affatto nell’aritmetica ordinaria.

Lettere inglesi, a cura di Paolo Alatri, Editori Riuniti, 1971

Numeri a regola d'arte. Il carteggio André – Simone Weil (Umberto Bottazzini)

Ugo Nespolo, Account, 1988, acrilico su tavola

Sono due fratelli destinati a lasciare una traccia profonda nella cultura del secolo appena trascorso quelli che, nella primavera del 1940, si scambiano la manciata di lettere raccolte in questo volumetto. Da un lato la filosofa, saggista e mistica Simone Weil, dall’altro André, uno dei più grandi matematici del Novecento. Dalla matematica e filosofia della Grecia classica all’attualità della Francia in guerra, queste lettere toccano i temi più diversi e ci rivelano «il genio dell’attenzione, l'aristocrazia dell’intelligenza» dei due fratelli, per dirla con le parole della curatrice Maria Concetta Sala, che ne ha illuminato i testi con un ricchissimo apparato di note (Simone Weil – André Weil, L'arte della matematica, Adelphi, 2014). Genio precoce dalle «straordinarie doti» intellettuali, André «ha avuto un’infanzia e una giovinezza paragonabili a quelle di Pascal» riconoscerà Simone, consapevole «di non poter sperare in alcun modo di accedere a quel regno trascendente ove entrano soltanto gli uomini di autentica grandezza e ove abita la verità». E non sorprende se fin dalla prima lettera chiede al fratello, renitente alla leva e detenuto in un carcere militare in attesa di processo, di «riflettere sul modo di far intravedere ai profani come me in che cosa consistano esattamente l’interesse e la portata dei tuoi lavori».

In carcere tempo ne ha da vendere, e «per te sarebbe un ottimo esercizio» invece di prendere in giro «quelli che filosofeggiano sulle matematiche senza conoscerle». Da parte sua, Simone si è «messa a fare un po’ di babilonese» (!), ha fatto la conoscenza dell’epopea di «un certo Gilgameš», e ha iniziato a leggere le Lezioni di Otto Neugebauer sulla storia della scienza antica (babilonese e sumera), concludendo che i sumeri sono gli inventori dei miti mesopotamici, e «i miti sono ben altrimenti interessanti rispetto all’algebra» dei babilonesi. Gran parte della loro algebra è confluita nella matematica greca, spiega André, e ciò che la «rende oltremodo originale è forse il fatto che non esiste l’approssimazione: questo ha ucciso il numero a vantaggio del logos (è qui tutto il dramma della scoperta degli irrazionali) e ha mandato in rovina il pitagorismo per approdare a Platone e Euclide».

Ma, ribatte Simone, «non risulta che la scoperta degli incommensurabili abbia operato una rottura nella continuità dello sviluppo» e non ha certamente «mandato in rovina il pitagorismo, come asserisci tu». Altrimenti i pitagorici non avrebbero certo adottato il pentagono stellato, formato dalle diagonali di un pentagono regolare, come segno di riconoscimento giacché il rapporto tra la diagonale e il lato è irrazionale (è il cosiddetto “numero aureo”). Che vi siano rapporti “che non sono nominabili”, rapporti incommensurabili, secondo André “l’espressione stessa è tanto sconvolgente che non posso credere che in un’epoca così drammatica nella sua essenza, e che ha conosciuto e provato a tal punto l’angoscia, un fatto così straordinario abbia potuto essere preso per una semplice scoperta scientifica».

Per Simone, anziché essere una «sconfitta per i Pitagorici, come ingenuamente si crede», la scoperta degli irrazionali è stata «il loro più meraviglioso trionfo». A decretare la loro rovina è stato invece il massacro dei pitagorici, e poi anche la demagogia dei sofisti che, in ultima istanza, ha alimentato l’imperialismo romano che ha distrutto la civiltà ellenica. A suo dire, la matematica costituiva per i Greci non «un esercizio della mente, ma una chiave della natura» cercata non col proposito di dominare la natura con la tecnica ma, ripete in queste lettere, «al fine di stabilire una identità di struttura tra la mente umana e l’universo”. Con l’assillo della purezza dell’anima, la matematica «aiutava a imitare Dio», a «fare apparire il mondo come “la città di tutti gli esseri dotati di ragione”». Che forse caratterizza Simone, più che la matematica greca. Si fa un torto pensandola «solo come una speculazione razionale e astratta». Certo lo è ma, dice Simone, è anche «una scienza della natura, una scienza concreta e anche una mistica». E altrove dirà che è «anzitutto una sorta di poema mistico composto da Dio stesso». Del resto anche Platone era a suo dire un mistico, addirittura «il padre della mistica occidentale».

Alla richiesta della sorella di parlare delle proprie ricerche a non specialisti, in un primo tempo André obietta che sarebbe come «spiegare una sinfonia a dei sordi». Certo si può fare servendosi di immagini, parlando di «temi che si rincorrono, s’intrecciano, si coniugano o si separano, di tristi armonie o di trionfanti dissonanze», ma l’esito non sarebbe certo incoraggiante: «tutt’al più un componimento bello o brutto», che nulla ha da spartire con quanto si voleva descrivere. Insomma, conclude André Weil, «la matematica non è altro che un'arte; una sorta di scultura in una materia dura e resistente”. Il paragone che gli viene naturale è con Michelangelo, che ha affidato ai versi di sonetto l’idea che il blocco di marmo contenga già la statua, e lo scultore debba solo “liberarla” togliendo il superfluo. Così lavora il matematico, «sottomesso alle asperità della materia con cui lavora». L’opera che ne risulta «è un’opera d’arte, e in quanto tale inspiegabile». Con buona pace di chi si affatica nella divulgazione, verrebbe da dire.

Non riesco a concepire in cosa consista la “materia dura” dell’arte matematica, confessa Simone. E azzarda al fratello: «La materia del tuo lavoro non è forse è l’insieme dei lavori matematici precedenti?». Certo ha in mente le parole di André quando in uno scritto successivo commenta sarcastica: «Gente che in pubblico si fa passare per sacerdote della verità, degrada la propria parte» a quella di un giocatore di scacchi o uno scultore. Se quest’ultima è la vocazione, «meglio fare lo scultore invece che il matematico”.

Finalmente André cede alle ripetute richieste della sorella e riassume in una lunghissima lettera il senso delle sue ricerche, collocandole nella recente storia della teoria dei numeri e illustrando il ruolo dell’analogia per la scoperta matematica con toni («torbidi e deliziosi riflessi», «carezze furtive», «palpeggiamenti un poco adulteri» «turbamento di sensi») più adatti alla letteratura erotica che a quella scientifica. Della tua lettera «non ho capito niente» ammette Simone in un abbozzo di risposta. Il che non le ha impedito di riassumerla (molto verosimilmente per chi doveva difendere il fratello davanti al tribunale militare) «con diabolica abilità» come dice ella stessa con autoironia, «in modo da suggerire che non vi sono altri che Fermat, Gauss e tu». Certo, un paradosso che la sorella ha «preso un po’ troppo alla lettera».

Il Sole 24 Ore – Domenica, 24 maggio 2018

Stendhal. La matematica contro l'ipocrisia (Michele Emmer)

«La mia passione per la matematica unico mezzo che avessi per lasciare quella città che aborrivo e che odio ancora, perché è là che ho imparato a conoscere gli uomini, la mia passione per la matematica mi gettò in una profonda solitudine. Amavo e amo ancora la matematica in sé in quanto non ammette l'ipocrisia e il vago, le mie due bestie nere. Secondo me l'ipocrisia era impossibile in matematica e, nella mia ingenuità giovanile, pensavo che fosse cosi per tutte le scienze a cui avevo sentito dire che la matematica si applicava. A quattordici anni mi immaginavo che la matematica superiore, quella che non ho mai saputo, comprendesse tutti o quasi gli aspetti degli oggetti e che, cosi andando avanti, sarei arrivato a sapere delle cose sicure incontestabili e che avrei potuto dimostrare a me stesso quando volevo su tutto».

Questo giovane ed entusiasta studioso di matematica non è altri che Stendhal (Vita di Henry Brulard, Adelphi, 1964 Milano) per il quale la passione matematica era tale che portava i capelli troppo lunghi «tanto era il rimpianto per la mezz'ora che bisognava perdere per farli tagliare». Ma Stendhal lascerà dopo pochi anni lo studio della matematica rinunciando ad entrare all'École Polytechnique di Parigi nel 1799, per poi partire nel 1800 per l'Italia al seguito delle armate francesi. La passione non è dimenticata visto l'entusiasmo con cui ripensa molti anni dopo, nel 1835 agli studi matematici quando scrive i suoi ricordi.

«Che alcuni grandi condottieri siano chiamati "matematici” del campo di battaglia è una delle molte assurdità che circolano sulla matematica per ignoranza della sua natura. Se tutto a un tratto fosse necessario ricorrere a un procedimento deduttivo appena un po' complicato come la risoluzione di una semplice equazione differenziale, migliaia di uomini correrebbero ineluttabilmente incontro alla morte. Ciò non depone a sfavore dell’ingegno dei condottieri, ma depone certo a favore della peculiare natura della matematica. E anche di fronte ai compiti mille volte più numerosi che non si possono ancora risolvere meccanicamente, la matematica si può definire una meravigliosa apparecchiatura spirituale fatta per pensare in anticipo tutti i casi possibili. Non è un trionfo dell'organizzazione dello spirito?».

Da Matematici, che passione in “l'Unità”, 23 ottobre 1992

Finché c'è morte c'è speranza. Ricordo di Renato Caccioppoli (Lucio Lombardo Radice)

Renato Caccioppoli  in un'aula dell'Università di Napoli con studenti e ricercatori.
Accanto a lui il prete Savino Coronato, collaboratore all'Istituto di Matematica

Lo vidi per la prima volta a Roma nell'agosto del 1939. All'indomani della morto di Gaetano Scorza ero nella casa in lutto. La porta si aprì ed entrò nella stanza un uomo che affascinò la mia attenzione pur nel turbamento. Alto, di una magrezza eccezionale quasi terrificante, appoggiato ad un bastoncino dritto di antica foggia, giovane il volto ma emaciatissimo, due occhi fondi intelligenti e buoni sotto un ciuffo di rari capelli che ogni poco scostava con mano sensibile. Una figura (mi sembrò in quell'attimo) d'altro paese d'altro tempo, un uomo che viveva in un altra regione dello spirito, più elevata e più dolente della nostra.

Lo ritrovai amico vicino qualche anno dopo (ma quali anni), attorno al 1946 a Napoli. Che in lui vi fosse altro, anche allora percepivo, ma indubbiamente quella della repubblica delle prime battaglie nella libertà riconquistata, non senza un suo personale contributo e sacrificio fu una delle stagioni più piene nella vita di Renato Caccioppoii e forse la più felice o meno tormentata. Il piccolo bellissimo suo appartamento a palazzo Cellammare, dove in ogni cosa vi era traccia di una creatura eccezionalmente sensibile e intelligente era uno dei punti di ritrovo, di sosta e di preparazione degli uomini più notevoli del movimento rivoluzionario operaio, dei comunisti in particolare.

Renato Caccioppoli era senza dubbio un genio. La testimonianza più duratura della sua genialità resta consegnata ai suoi scritti di matematica che hanno fatto di lui uno dei più grandi analisti della nostra epoca, la testimonianza invece nella sua genialità in tanti e tanti altri campi — musica, letteratura, storia, filosofia, penetrazione dell'animo umano — resta affidata al ricordo degli amici che gli furono compagni nelle passeggiate napoletane.

“Genio” abbiamo detto, “genio romantico” vorremmo aggiungere. In Renato c'è sembrato infatti troppo spesso di scorgere non già l'uomo che adopera il suo ingegno ma un pensiero (un «genio») che domina e possiede un uomo. Egli parla a parlava instancabile per ore ed ore ma sempre inquieto sempre «posseduto», quasi che da un momento all'altro il ricamo sottile delle connessioni dovesse spezzarsi e sfilacciarsi. E invece no, Renato riusciva sempre a far scorrere e intrecciare armonicamente le idee in corsa veloce ma non in fuga.

Quando tratteneva lamico per un ultimo problema, per un ultima escursione intellettuale prima di salutarlo a tarda notte chiedeva tacitamente di non essere lasciato a terminare solo il viaggio attraverso la notte, solo nella sua stanza a palazzo Cellammare ad ascoltare al termine di ogni notte, tra l'ombra e la luce il ritmico scavare dell'altro al di là del muro o forse dentro di sé.

Perché chiedere a Renato, quando ce lo diceva, che nome dare all'altro? Lo chiediamo forse a Kafka, al poeta dell'angoscia quando leggiamo La tana? Forse l'ombra che scende piano su ogni vita, forse il logoramento, la tristezza eguale di una vecchiaia solitaria, il sapere che è tardi, troppo tardi per vivere «nel solo» come gli amici più modesti ma più amati e più invidiati affettuosamente invidiati. Perché doveva dircelo Renato quando ce lo aveva detto da sempre ogni volta che ci parlava con amore e invidia del suo Evaristo Galois il genio romantico dolente e solitario che gli Dei amarono perché vollero che morisse giovane?

Se Renato per tante sere ha avuto la forza di affrontare il lungo viaggio attraverso la notte l'ha trovata forse perché sapeva che poteva morire, se lo voleva. Finché c'è morte ci speranza.

"l'Unità", 12 maggio 1959

Renato Caccioppoli. Uno scienziato a molte dimensioni (Giovanni Maria Pace)

Per quasi trent'anni fu un protagonista della scena culturale napoletana e della cultura matematica internazionale. Poi, un venerdì di maggio del 1959, dopo avere riempito alcuni fogli di equazioni, si tolse la vita: un suicidio lucido e ragionato come le formule lasciate sullo scrittoio, un gesto che ancora oggi turba la comunità scientifica.

Parliamo di Renato Caccioppoli, lo studioso al quale la Scuola Normale superiore e l'Istituto italiano per gli studi filosofici di Napoli dedicano oggi un convegno a Pisa, con lo scopo come dice uno dei relatori, il professor Ennio De Giorgi di scavare nell'opera del grande scienziato alla ricerca di altri tesori, e anche di avviare un'impresa ai limiti del possibile: raccordare il pensiero matematico al pensiero del nostro tempo, ponendo fine a una separatezza durata troppo a lungo.

Riusciranno nell'intento gli ardimentosi congressisti? Difficile rispondere; ma è certo che poche figure di matematico possono servire a riannodare le due culture meglio di quella di Caccioppoli, che fu un uomo a molte dimensioni.

Nato a Napoli nel 1904 da Giuseppe, noto chirurgo, e da Sofia Bakunin, figlia dell'anarchico russo Michele Bakunin, Renato deve forse a questa ascendenza il costante interesse per la questione sociale che lo porterà, nel 1948, a unirsi agli operai durante l'occupazione delle Officine Meccaniche e Fonderie. Dal nonno materno eredita anche una certa insofferenza per l'ordine e l'autorità. Benché militi di fatto nelle file del partito comunista, non ne prende mai la tessera. Gli amici, sconcertati, gli chiedono “Ma tu si' marxista, Rena'?” e non riescono a ottenere risposta.

In effetti la domanda, rivolta a Caccioppoli, è banale. Renato è istintivamente uomo di sinistra, ma ha delle riserve sul Pci, come del resto ha riserve su tutto e su tutti. La sua militanza politica è molto intensa nel periodo 1950-1956, prima del ventesimo congresso del Pcus. Tiene applauditi comizi nelle piazze di Napoli, e l'impegno nel Movimento della pace lo porta anche fuori d'Italia, sempre accompagnato dalla minaccia di ritiro del passaporto da parte della polizia di Scelba.

Intorno a lui si raccoglie in quegli anni un gruppo di giovani intellettuali Fausto De Luca, Ermanno Rea, Michele Coppola, Sandro Aurisicchio, Ruggero Guarini, Franco Prattico, Luigi Imbimbo ed altri che formano un' isola a sé nell' arcipelago del comunismo napoletano. Si incontrano dal libraio Gaetano Macchiaroli e passano insieme lunghissime serate, viaggi verso il termine della notte, come ha scritto Lucio Lombardo Radice, durante i quali Caccioppoli parlava, parlava instancabilmente per ore, sempre posseduto, quasi che da un momento all'altro il ricamo sottile delle connessioni dovesse spezzarsi.

La conversazione è uno dei suoi atouts. Brillante, mai banale, piace alle signore, e infatti il gentil sesso occupa un posto importante nella sua vita. La donna del suo cuore è Sara Mancusi, venuta a Napoli alla fine degli anni Trenta con Arturo Labriola, e che Caccioppoli sposerà segretamente in circostanze che vale la pena di ricordare. Siamo nel 1938, Caccioppoli non fa mistero delle sue idee antifasciste, anzi le manifesta in modo spericolato, suscitando imbarazzo negli amici più conformisti. Una sera, al ristorante Il Grottino, supera se stesso. Dopo avere rivolto frasi poco riguardose all' indirizzo del Duce, ordina all'orchestra di suonare la Marsigliese. Interviene la polizia e Renato è arrestato. Ai fascisti che, scortandolo al commissariato, promettono di prenderlo a calci, risponde: “Si capisce, i calci sono l'arma degli asini. Per reati del genere, all'epoca, c'è il tribunale speciale. Ma la famiglia del matematico interviene: la madre Sofia, d'accordo con la sorella Maria, professoressa di chimica e terrore degli studenti napoletani fa passare Renato per pazzo, ne ottiene il ricovero nel manicomio giudiziario e più tardi in una clinica privata di Capodichino.

La leggenda della pazzia, che Renato si porterà dietro per il resto della sua vita (e nella drammatica morte), nasce qui, in questo ricovero strumentale che però gli imprime una specie di marchio indelebile, della cui responsabilità Caccioppoli non cesserà di far carico ai suoi familiari.

Ma torniamo alla notte brava al Grottino. Anche Sara viene arrestata in quella occasione, e Renato sente verso di lei come un debito, un dovere di risarcimento che non è ragione ultima del loro matrimonio. Ma l'unione non durerà a lungo. Sara lascerà Renato per Mario Alicata e si trasferirà con quest'ultimo a Roma. Per lo studioso sarà un colpo difficile da incassare.

Caccioppoli non amava il lavoro di rifinitura; preferiva affrontare ogni volta nuovi problemi. Arriva in questo modo ad aprire vie inesplorate, e se la matematica italiana riesce a mantenere il passo e persino a precorrere la matematica europea nonostante l'isolamento imposto dal fascismo, è in gran parte per merito suo. Caccioppoli si occupa principalmente di calcolo delle variazioni e di analisi funzionale, due tecniche come sottolinea Dionigi Galletto, direttore dell'Istituto di fisica matematica dell'università di Torino che sono alla base della ricerca matematica moderna.

La matematica non è però l'unico interesse di Renato, che si dedica anche alla letteratura, alla filosofia e soprattutto alla musica. Come pianista è più di un dilettante. Si racconta in proposito che una notte d'estate, durante una villeggiatura a Sant'Agata, viene svegliato dal temporale e si mette a suonare la Danse Macabre di Saint-Saens. Gli ospiti della pensione si affacciano sulla porta delle loro camere, ma nessuno osa fiatare, tale è la suggestione di quelle note, a cui lampi e tuoni fanno da contrappunto.

La figura di Caccioppoli oscilla, nel racconto di chi lo conobbe, tra la macchietta e l'eroe shakespeariano. Le sue bizzarrie (qualcuno sostiene di averlo visto a passeggio per via Caracciolo con un gallo al guinzaglio) inclinano alla prima ipotesi; il suo coraggio civile e i suoi meriti scientifici alla seconda. Chi fu dunque, in realtà, Renato Caccioppoli? Forse la sua fine, insieme pietosa e insolente, può darci la chiave per capire.

Il suicidio non avvenne in un momento di sconforto ma fu un gesto a lungo meditato. Le spiegazioni che ne sono state date variano alquanto. C'è chi sostiene che Caccioppoli era alcolizzato, chi dice che soffrisse per delusioni sentimentali e politiche, chi suggerisce che era affetto da una forma acuta di depressione come il fisico Ettore Majorana, scomparso senza lasciare traccia. In tutte queste ipotesi c'è un po' di verità: Renato in effetti beveva; la moglie lo aveva lasciato; la repressione sovietica in Ungheria aveva scosso la sua fede nell'ideologia. Ma la meccanica del suicidio rimane forse l'elemento più eloquente. Caccioppoli muore senza dire perché; ma in fondo erano anni che lo andava dicendo. Quando ritiene di essere arrivato al capolinea intellettualmente, scientificamente, sentimentalmente decide di scendere. E quando sa che la fine è imminente, la racconta agli amici con una metafora.

La scena si svolge ai primi di maggio del '59, in una rumorosa pizzeria. Caccioppoli è con un gruppo di compagni e commenta il caso di un giovane che si è svenato per poi lasciarsi soccorrere. Quello è uno stupido, dice. Per uccidersi davvero si fa così, e descrive una tecnica sicura, sulla quale ha riflettuto: cuscino sotto la nuca, punto preciso dove appoggiare la canna della pistola e così via. È esattamente la tecnica con la quale, pochi giorni più tardi, si toglierà la vita, nel suo appartamento di via Chiaia, nel cuore di Napoli.

“la Repubblica”, 10 aprile 1987

Al tempo dei Big Data. La matematica come arma di distruzione (Cathy O’Neil)

Leggo ora e "posto" il breve estratto dal libro di Cathy O’Neil, Armi di distruzione matematica (Giunti 2017), pubblicato qualche mese fa da “pagina 99”. Opera di una matematica prima "pura", poi prestata all'economia, mi pare un libro di grande interesse.  (S.L.L.)

Da bambina, avevo l’abitudine di osservare dal finestrino le auto che si muovevano nel traffico e di studiarne i numeri di targa scomponendoli in numeri primi. Si chiama fattorizzazione, ed era il mio passatempo investigativo preferito. All’università mi iscrissi a Matematica, per poi conseguire un dottorato di ricerca con una tesi sulla teoria algebrica dei numeri. Ottenni poi una cattedra al Barnard College, il cui dipartimento di Matematica è affiliato alla Columbia University.

Tutto parte dalla finanza

E poi il grande cambiamento: lasciai il posto all’università per andare a lavorare come quant, ossia come analista quantitativa, presso D.E.Shaw, un hedge fund di primaria importanza. Nel lasciare il mondo accademico per la finanza, portavo la matematica dall’astrazione della teoria alla concretezza della pratica.

Le operazioni che svolgevamo sui numeri si traducevano nel rimescolamento di migliaia di miliardi di dollari da un conto all’altro. All’inizio ero elettrizzata e stupita dal fatto di lavorare in questo nuovo laboratorio che era l’economia globale, ma nell’autunno del 2008, quando mi trovavo lì da poco più di un anno, tutto precipitò.

Il tracollo chiarì senza ombra di dubbio come la matematica in cui un tempo mi rifugiavo fosse non solo legata a triplo filo con i problemi del mondo, ma in parte li alimentasse. Inoltre, grazie agli straordinari poteri che io tanto amavo, la matematica sposata alla tecnologia riusciva a moltiplicare il caos e le sventure.

Se avessimo avuto le idee chiare, a quel punto avremmo fatto tutti un passo indietro per capire in che modo avessimo fatto cattivo uso della matematica e come avremmo potuto evitare una simile catastrofe in futuro.

Il punto di svolta

E invece, sull’onda della crisi, le nuove tecniche matematiche erano più trendy che mai, pronte a ramificarsi in ambiti sempre più vasti e a elaborare ininterrottamente petabyte di dati, gran parte dei quali raccolti setacciando i social media o i siti di e-commerce. Dati focalizzati sempre più non già sui movimenti dei mercati finanziari globali ma sugli esseri umani, cioè noi. I matematici e gli esperti di statistica si erano messi a studiare i nostri desideri, i nostri spostamenti, il nostro potere d’acquisto, a formulare previsioni sulla nostra affidabilità e a calcolare il nostro potenziale in veste di studenti, lavoratori, amanti, criminali. Era l’economia dei Big Data, e prometteva enormi guadagni. Con un programma e un computer, si potevano analizzare migliaia di curriculum o richieste di finanziamento in un paio di secondi e organizzarli in elenchi ordinati, con i candidati più promettenti in cima alla lista. Questo modo di operare non solo faceva risparmiare tempo, ma si diceva anche che fosse equo e obiettivo. Niente più individui pieni di pregiudizi a leggere carte e documenti, solo macchine impegnate a elaborare freddi numeri.

Numeri e pregiudizi

Attorno al 2010, la matematica era diventata una componente preponderante nelle questioni umane come mai prima di allora, e l’opinione pubblica ne era in massima parte felice. Ma sentivo che i guai erano dietro l’angolo. Le applicazioni matematiche che facevano girare l’economia dei dati si basavano su scelte di esseri umani fallibili i quali senza dubbio, in molti casi, erano animati dalle migliori intenzioni.

Ciò nonostante, molti di questi modelli avevano codificato il pregiudizio umano, l’incomprensione e l’errore sistematico nei software che controllano ogni giorno di più le nostre vite. Come fossero divinità, questi modelli matematici erano misteriosi e i loro meccanismi invisibili a tutti, tranne che ai sommi sacerdoti della materia: matematici e informatici.

I loro giudizi – anche se sbagliati o pericolosi – erano incontestabili e senza appello. E se da una parte penalizzavano i poveri e gli oppressi della nostra società, dall’altra aiutavano i ricchi ad arricchirsi sempre di più. Ho trovato un nome per questo genere di modelli negativi: li chiamo “armi di distruzione matematica”, o adm [...].

Contro i poveri

I datori di lavoro, per esempio, ricorrono sempre più spesso al cosiddetto credit scoring, ossia le valutazioni di affidabilità creditizia, per giudicare potenziali candidati. Chi paga regolarmente le bollette – questa è l’idea di fondo – arriverà presumibilmente puntuale al lavoro e sarà incline a seguire le regole. In realtà, ci sono moltissimi individui responsabili e ottimi lavoratori che hanno la sventura di veder diminuire la loro affidabilità creditizia.

Ma l’idea che la difficoltà di accedere al credito sia correlata a un cattivo rendimento sul lavoro fa sì che le persone con un’affidabilità creditizia bassa abbiano minori probabilità di trovare lavoro. La mancanza di lavoro le spinge verso la povertà, rendendole ancora meno affidabili da un punto di vista creditizio e mettendole in una posizione sempre più svantaggiata sotto il profilo occupazionale. È una spirale discendente. E gli imprenditori non sapranno mai quante persone valide e meritevoli si sono lasciati sfuggire per aver focalizzato tutta l’attenzione sull’affidabilità creditizia dei candidati. Nelle adm, molti assunti dannosi vengono mimetizzati dietro il velo della matematica, con il risultato che nessuno li verifica né li mette in discussione. Questo evidenzia un’altra caratteristica comune delle adm, e cioè la tendenza a penalizzare i poveri. Ciò avviene, in parte, perché sono progettate per valutare gli individui in grandi numeri. Nascono per una gestione all’ingrosso, e costano poco. Fa parte del loro fascino. I ricchi, per contro, vengono spesso considerati nella loro individualità. Un prestigioso studio legale sarà di certo più propenso di una catena di fast food o di un distretto scolastico a corto di finanziamenti a prendere in esame candidati raccomandati da qualcuno e a organizzare colloqui individuali. I privilegiati, come vedremo spesso, vengono tendenzialmente valutati da persone in carne e ossa, le masse dalle macchine.

«Che ci vuoi fare?»

Le armi di distruzione matematica non ascoltano, non si piegano. Sono sorde non soltanto al fascino, alle minacce e alle lusinghe, ma anche alla logica, persino quando ci sono buone ragioni per dubitare dei dati che alimentano le loro conclusioni. Certo, qualora risulti evidente che dei sistemi automatizzati sbagliano in maniera sistematica e imbarazzante, i programmatori tornano sui loro passi e ritoccano gli algoritmi. Ma nella maggior parte dei casi, i programmi emettono sentenze inflessibili, e gli esseri umani che le applicano non possono far altro che stringersi nelle spalle, quasi a dire: “Che ci vuoi fare?”.

Pagina 99, 8 dicembre 2017

Quando a sbagliare è un genio. Errori veri e presunti di Einstein (Vincenzo Barone)

Per garantire un introito al suo collaboratore Leopold Infeld, che non aveva ancora un posto in università, nel 1938 Einstein decise di scrivere assieme a lui un saggio destinato a diventare famoso, L’evoluzione della fisica. Durante la stesura Infeld gli confessò di sentirsi particolarmente in ansia, visto che il libro avrebbe recato in copertina il nome del più celebre scienziato del mondo. «Non è il caso di preoccuparsi – lo tranquillizzò Einstein –, ci sono anche lavori sbagliati con la mia firma».

Einstein sapeva benissimo che gli errori fanno parte del gioco della scienza e riteneva che non dovessero creare particolari imbarazzi. Ne aveva commesso qualcuno e non si vergognava di ammetterlo. Nel linguaggio comune la parola «errore» ha varie sfumature, e quando la si applica alla scienza conviene essere accorti. Prescindendo completamente dall’uso del termine come sinonimo di «incertezza di misura» (frequente in fisica), possiamo distinguere due tipi di errori nella normale attività scientifica: 1) i veri e propri sbagli, nei calcoli, nelle deduzioni o nella conduzione di un esperimento; 2) le ipotesi, le teorie e i programmi di ricerca che si rivelano a posteriori fallaci. Entrambe queste situazioni sono perfettamente fisiologiche (la prima è addirittura universale – errare humanum), e solo una visione superficiale dell’impresa scientifica può dipingerle come macchie nella reputazione degli scienziati (anche dei più grandi) o come passi falsi sulla via della verità.

Nel caso di Einstein, gli errori del primo tipo sono spesso legati alla peculiare struttura logica della relatività generale, che rende di difficile lettura alcune sue predizioni. Fu così, per esempio, che egli pensò per un breve periodo, nel 1936, di aver dimostrato – vent’anni dopo averle previste – l’irrealtà delle onde gravitazionali. Di questo sbaglio si accorse quasi subito, mentre non corresse mai i risultati di quello che alcuni storici della scienza considerano il suo peggior lavoro scientifico, un articolo del 1939 in cui sosteneva l’impossibilità del collasso gravitazionale di una stella fino allo stato di buco nero (negli stessi giorni J. Robert Oppenheimer e Hartland Snyder erano giunti – correttamente – alla conclusione opposta).

Non un vero sbaglio, ma una svista, compare in un’altra famosissima nota einsteiniana, quella (molto breve) in cui il padre della relatività prevedeva il fenomeno delle lenti gravitazionali – la distorsione dell’immagine di sorgenti lontane a causa della presenza di grossi corpi che deflettono con la loro gravità i raggi luminosi. Ipotizzando che i corpi in questione fossero stelle, Einstein concluse che l’effetto era piccolissimo e impossibile da rilevare (per inciso, si noti come gli “sbagli” di Einstein andassero curiosamente sempre nella direzione di sottostimare la ricchezza fenomenologica della sua teoria). Pochi mesi dopo, l’astronomo Fritz Zwicky gli fece notare che, se ad agire da lente gravitazionale fosse stata una galassia, l’effetto sarebbe stato osservabile (come sappiamo, Zwicky aveva ragione, e dal 1979 – anno della loro scoperta – le lenti gravitazionali sono diventate un fenomeno comune).

Rientra invece nella seconda tipologia quello che Einstein stesso definì l’errore più grande della sua vita: l’introduzione della costante cosmologica. Nel 1917 Einstein aveva inaugurato la moderna cosmologia teorica applicando l’equazione fondamentale della relatività generale all’intero universo, immaginato come una massa fluida omogenea. Si era accorto però che ne risultava un universo in contrazione o in espansione, non statico, come tutti credevano che fosse (mancando indizi contrari). Per ottenere una soluzione statica, aveva allora introdotto nella sua equazione un termine correttivo che conteneva un parametro arbitrario, la costante cosmologica. L’equazione aveva perso in eleganza e in semplicità, ma guadagnato apparentemente sul piano empirico. Nel 1929, tuttavia, l’astronomo statunitense Edwin Hubble scoprì che il cosmo era tutt’altro che statico. Le galassie si allontanano da noi – e da qualunque punto di osservazione – con una velocità proporzionale alla loro distanza, segno inequivocabile di un’espansione dell’universo. La costante cosmologica, dopo questa scoperta, non serviva più e l’equazione di Einstein, liberatasi da un orpello non necessario, poteva tornare a rifulgere in tutta la sua bellezza.

Ma, secondo il matematico e divulgatore David Bodanis, «il più grande errore di Einstein» (sempre del secondo tipo, nella nostra classificazione) non fu – diversamente da quanto pensava il diretto interessato – la costante cosmologica, bensì la pervicace ostilità nei confronti della meccanica quantistica. Con il senno di poi, Bodanis ha ragione: se solo il grande fisico avesse accettato la teoria quantistica nella forma che essa aveva preso a partire dalla metà degli anni Venti (per opera di Heisenberg, Schrödinger, Born, Dirac, e sotto la supervisione concettuale di Niels Bohr), probabilmente i trent’anni della sua vita spesi nella ricerca di una teoria unificata classica (che pure – va detto – hanno avuto effetti collaterali di una certa importanza) sarebbero stati ben più fruttuosi. C’è però da chiedersi: poteva Einstein – il genio formatosi ancora nell’Ottocento, che diceva di aver assunto la teoria classica dei campi con il latte materno, il creatore solitario delle due relatività, l’alfiere di una concezione granitica della scienza come processo di comprensione del reale regolato da criteri di semplicità logica – poteva questo Einstein accettare la visione del mondo di Copenaghen?

Bodanis sostiene – ed è questa la tesi centrale, ma anche la parte più debole, del suo libro – che l’atteggiamento di Einstein nei confronti della meccanica quantistica fosse figlio dello smacco ricevuto con la scoperta dell’inutilità della costante cosmologica, che sarebbe stata introdotta per dar conto dei dati osservativi. Dopo quell’esperienza Einstein si sarebbe isolato sempre di più dalla comunità scientifica, «decidendo di poter ignorare gli esperimenti che sembravano confutare ciò che lui era convinto che fosse giusto». È una ricostruzione difficilmente sostenibile. Innanzitutto, Einstein aveva operato in isolamento già negli anni di gestazione della relatività generale (con Tullio Levi-Civita, nell’aprile del 1915, si lamentava di quanto poco i suoi colleghi fossero «sensibili all’esigenza di una vera teoria della relatività»). In secondo luogo, il suo lavoro cosmologico, più che dai dati astronomici (che conosceva poco), era guidato, come al solito, da considerazioni e princìpi fondamentali – in particolare, dall’idea, dovuta a Ernst Mach, di un legame tra inerzia e distribuzione della materia. Infine, l’ostilità nei confronti della meccanica quantistica risaliva a ben prima del 1929 e prescindeva dai fatti empirici, muovendo più che altro da una critica ai fondamenti generali e non ai risultati applicativi della teoria (nella quale, peraltro, non faceva fatica ad ammettere che ci fosse qualcosa di “vero”).

Il rapporto di Einstein con l’esperimento fu sempre piuttosto articolato (a dispetto di certe sue battute). Salvo che negli anni giovanili, i programmi di ricerca einsteiniani non scaturirono mai da necessità empiriche. Ciò non significa però che egli considerasse il confronto con i dati irrilevante: nel 1915, a convincerlo della correttezza delle equazioni del campo gravitazionale appena ottenute fu tanto la loro eleganza formale quanto il fatto che esse spiegavano un piccolissimo fenomeno noto da tempo, l’anomalia dell’orbita di Mercurio. Il successo della relatività generale, basata su un postulato di simmetria e su un’equazione che è la più semplice equazione possibile coerente con tale postulato, lo convinse a procedere, nella costruzione teorica, sempre in quel modo. Ma non fu in grado di ripetere il successo. Era un uomo di princìpi (filosofici ed epistemologici), come le teorie che prediligeva e inventava, ma i princìpi, a volte, possono privare di quella flessibilità necessaria a riconoscere un vicolo cieco e a cambiare strada.

Ironia della sorte, la recente scoperta che l’espansione dell’universo sta accelerando ha riportato in auge la costante cosmologica di Einstein, che descrive proprio tale accelerazione. Difficile, a questo punto, considerarla un errore! È il destino della fisica teorica. Molti dei lavori che quotidianamente compaiono sulle riviste specialistiche finiranno nel dimenticatoio o nella carta straccia. In compenso, tra la carta straccia di qualche mente ingegnosa potrebbe nascondersi l’idea che gli altri stanno faticosamente cercando.

“Il Sole 24 Ore”, Domenica 29 luglio 2017

Enumerazione ed algoritmo. Don Chisciotte cavaliere algebrico (Paolo Zellini)

Dalle tavolette cuneiformi di Babilonia all'eroe di Cervantes, passando per le coppie di conigli di Fibonacci: l'arte di enumerare che fonda i calcoli moderni ha radici antiche. 

Sono le fondamenta dei computer che regolano le nostre vite.

Università degli Studi  di Udine, Museo dell'informatica.
Ricostruzione di una tavoletta sumerica contenente calcoli

“Chi più onesto e valoroso del celebre Amadigi di Gaula? Chi più saggio di Palmerino d'Inghilterra? Chi più accomodante e trattabile di Tirante il Bianco? Chi più galante di Lisuarte di Grecia? Chi più ferito e feritore di Don Belianigi?”. L'elenco, nel terzo capitolo della seconda parte del Don Chisciotte, non finisce qui, e del resto Don Chisciotte è in grado di enumerare, anche in altre occasioni, un insieme spropositato di cavalieri erranti, un catalogo di nomi e di soprannomi dei più fantasiosi, della cui effettiva esistenza egli è certissimo. Quando il signor Pietro Perez, curato e amico di Don Chisciotte, dichiara il suo imbarazzo a credere che tutti quegli eroi siano esistiti in carne e ossa, l'ingegnoso hidalgo ha buoni motivi per spiegargli che è in errore. L'enumerazione avvalora la tesi che i suddetti cavalieri siano vissuti davvero e chi ne dubita si inganna.

Prima di morire, alla fine delle sue imprese, Don Chisciotte saprà riconoscere di essersi lui stesso ingannato. Rimane però lo sconcerto: da che cosa poteva nascere in Don Chisciotte l'idea che quei personaggi fossero davvero esistiti? Non basta attribuirne la causa alla pazzia del cavaliere errante immaginato da Cervantes. Le sue enumerazioni sono una brillante parodia dei tradizionali elenchi di uomini ed eroi, di dèi e semidèi, che troviamo nelle Scritture, nell'epos di Omero, nella Teogonia di Esiodo e nelle tragedie di Eschilo. E non ci sono dubbi che quelle enumerazioni servissero a presentare sulla scena del mondo, in modo credibile, figure umane o divine altrimenti invisibili, insignificanti o inverosimili.

Da dove veniva questo potere realizzante dell'enumerazione? E quali sarebbero state le sue conseguenze nel nostro modo di pensare in generale? Ogni volta che contiamo gli elementi di un insieme, selezioniamo e raduniamo in una sola unità più cose disseminate, e con ciò ne rafforziamo la presenza, sveliamo quel carattere essenziale che ne assicura un'esistenza più stabile. In questo consiste pure il significato del greco legein e del suo sostantivo logos. Proprio nel richiamare il senso originario del logos, come rassegna o raccolta guidata da una scelta, Heidegger poteva dedurre la sua funzione precipua di svelare, di rendere manifesto, e quindi di fare esistere le cose.

I moderni algoritmi hanno ereditato un potere realizzante analogo a quello delle enumerazioni parodiate da Cervantes. Non è un caso che la scienza degli algoritmi si sia sviluppata tumultuosamente nel Ventesimo secolo, in seguito alla crisi dei fondamenti della matematica, all'incertezza sulla reale esistenza degli insiemi infiniti e alla preoccupazione per i paradossi che ne derivavano. L'esistenza di un insieme era certamente garantita, tuttavia, dalla possibilità di enumerarne e calcolarne gli elementi con un processo computazionale limitato nel tempo. In conclusione: l'infinito non esiste; esistono, invece, i numeri calcolati da un algoritmo.

Infatti l'enumerazione è la base per definire l'algoritmo. È questo un compito delicato, che i matematici devono assumersi per spiegare in modo coerente e plausibile concetti che resterebbero altrimenti vaghi e confusi. Come nel caso dell'algoritmo, la matematica ha cercato definizioni convincenti per le idee di numero, di rapporto, di caso e di informazione. Spesso è accaduto che le definizioni proposte, pur coerenti e ingegnose, siano state sottoposte a revisione critica, anche a distanza di secoli.

Nel 1888 Richard Dedekind pubblicava un breve e denso trattato dal titolo Essenza e significato dei numeri in cui dimostrava che le principali operazioni aritmetiche possono essere ricondotte, per via di un percorso gerarchico, al puro atto di enumerare. A questo scopo si serviva di una strategia particolare che Kurt Godei, nel 1931, avrebbe chiamato ricorsione, e che divenne il fondamento dell’idea stessa di algoritmo. L’algoritmo ricorsivo suddivide un problema in sotto-problemi di dimensione più piccola e analoghi all’originale. Consiste quindi in un programma che prescrive, tra le sue istruzioni, l’esecuzione di un programma identico a se stesso, opportunamente adattato alla dimensione dei sotto-problemi. Non si tratta di un circolo vizioso, ma dell’auto-similarità di una procedura che richiama, al suo interno, una procedura simile a se stessa.

Nel suo Liber Abaci (Libro dell’abaco) del 1202, una vera enciclopedia della scienza algoritmica del Medioevo, Leonardo Fibonacci si servì di una strategia molto simile per calcolare quante coppie di conigli sarebbero nate in un anno da una sola coppia, sapendo che in ogni mese da una coppia ne nasce un’altra e che ogni coppia inizia a riprodursi nel secondo mese di vita. La soluzione era semplice: in un dato mese il numero di coppie era la somma del numero di coppie dei due mesi antecedenti. Un algoritmo funziona allo stesso modo: si svolge in una serie di passi, e per compiere ciascun passo deve assicurarsi di ciò che è stato fatto nel passo precedente, seguendo a ritroso un processo di enumerazione. Un po’ come Orfeo che ha bisogno, per procedere, di guardarsi indietro per accertarsi se Euridice lo stia ancora seguendo.

Date le condizioni iniziali — nel caso di Fibonacci l’esistenza di una coppia di conigli nel primo mese — l’algoritmo procede in modo automatico: il risultato a ogni istante non è determinato dal nostro arbitrio, ma solo dal risultato dell’istante precedente. Anche se l’algoritmo calcola il valore di una funzione, esso è concettualmente diverso dalla semplice attribuzione di un valore a quella funzione, perché consiste in una procedura che mira a ottenere effettivamente quel valore. Distinguendo tra effetto e valore riusciamo a distinguere una procedura da una espressione matematica. L’espressione è una legge che associa numeri ad altri numeri, mentre l’esecuzione di una procedura ha per scopo un effetto, il risultato di un calcolo che si svolge nel tempo e nello spazio di memoria del computer.

A voler cercare le origini dell’idea di algoritmo, dobbiamo ritornare indietro di secoli, forse di millenni. La parola “algoritmo” deriva da Muhammad ibn Musa al-Kh-wàrizmì, il nome del matematico e astronomo arabo autore di un libro, apparso all’inizio del Nono secolo, sull’algebra (al-jabr) e sulla al-muqàbala, ovvero sulle tecniche per ridurre un’equazione a una forma che ne consentisse una risoluzione più semplice. Era chiamato algebrista, nell’opera di Cervantes, anche chi sistemava le ossa rotte o slogate. A un algebrista, appunto, dovette ricorrere il Cavaliere degli Specchi, vale a dire il baccelliere Sansone Carrasco, per guarire dalle conseguenze delle percosse inflittegli da Don Chisciotte.

Tuttavia le prime forme di pensiero algoritmico risalgono a circa quattromila anni fa e si trovano sulle tavolette in cuneiforme provenienti dall’area geografica intorno all’antica città di Babilonia. Si tratta di procedure applicate a problemi specifici, ma già contenenti schemi generali di calcolo, che sarebbero rimasti invariati fino ai nostri giorni. Donald Knuth, uno dei padri dell’informatica, ha notato che i calcoli babilonesi già possedevano lo stesso ordine e lo stesso carattere categorico delle moderne procedure, del loro mirare a un risultato concreto in un numero finito di passi.

Viene da aggiungere che troviamo un carattere simile in quegli innumerevoli algoritmi a cui deleghiamo con fiducia, e non senza rischi di fraintendimento, ogni misurazione e raccolta dei dati da cui dipendono le nostre previsioni e le nostre scelte. Ma in assenza di un’analisi dell’algoritmo, della complessità e della propagazione dell’errore nei calcoli, i numeri perentoriamente stampati dalla macchina alla fine di un processo potrebbero essere inutili e privi di senso. La percezione di una fondamentale incertezza e la diffusa avversione per i numeri traggono anche da qui la loro forza, a scapito però della credibilità di una scienza da cui dipende la possibilità di stabilire un nesso tra i nostri pensieri e la realtà delle cose.

“la Repubblica – Robinson” 26 marzo 2017