Un rompicapo logico di Raymond Smullyan (e la sua soluzione)

Il filosofo e matematico americano Raymond Smullyan

Immaginate che ci siano due gemelli identici, uno che mente sempre e uno che dice sempre la verità. Ora quello che dice la verità ha anche convincimenti assolutamente esatti: ritiene vere tutte le proposizioni vere e false tutte le false. Il fratello mentitore, al contrario, nutre convincimenti del tutto inesatti: considera false tutte le proposizioni vere e vere tutte le false. La cosa curiosa è che entrambi risponderanno alla stessa domanda nello stesso modo. Supponiamo, per esempio, di chiedere loro se due più due fa quattro. Il fratello sincero e dai convincimenti esatti sa che è vero e, sinceramente, risponderà sì. Il bugiardo dai convincimenti inesatti crederà che due più due non fa quattro (egli crede alla rovescia), poi mentirà e dirà che è così; anch'egli, dunque, risponderà sì.

La situazione mi ricorda un fatto letto in un testo sulle anomalie psicologiche. In una clinica per le malattie mentali i medici si proponevano di dimettere un certo paziente, schizofrenico, e decisero di esaminarlo con la macchina della verità. Una delle domande che gli rivolsero fu: «Sei Napoleone?». La risposta fu «No», ma la macchina rivelò che mentiva.

Per tornare ai nostri due gemelli, due cultori di logica dibattevano la questione seguente: supponiamo che si possa incontrare uno dei due fratelli da solo; sarebbe possibile identificarlo rivolgendogli un qualunque numero di domande cui si possa rispondere semplicemente sì o no? Il primo dei due logici affermava: «Non sarebbe possibile: qualunque risposta egli desse alle tue domande sarebbe identica a quella che potresti ottenere dal suo gemello». Il secondo sosteneva che la possibilità di scoprire l'identità del soggetto c'era.

Aveva ragione lui, e il rompicapo va suddiviso in due parti: 1) Quante domande sono necessarie? 2) (ed è l'aspetto più interessante) Dove sbaglia il primo dei due logici? (I lettori ai quali piace risolvere i rompicapi logici possono, a questo punto, tentare di risolvere questo, prima di continuare a leggere).

Per stabilire a quale dei due fratelli stiamo parlando basterà una sola domanda: non c'è che da chiedergli se egli sia quello sincero ed esatto. Se lo è saprà di esserlo (data la sua esattezza) e dirà sinceramente sì. Se egli è il bugiardo (e, nel medesimo tempo, l'inesatto), crederà di essere sincero ed esatto (poiché i suoi convincimenti sono inesatti) ma poi mentirà e risponderà no. Di conseguenza l'esatto e sincero risponderà di sì e l'inesatto e bugiardo risponderà di no alla nostra domanda.

In che cosa era errato il ragionamento del primo logico? I due fratelli non darebbero la medesima risposta alla medesima domanda? Sì, ma la questione è che se io chiedo a una persona «Sei tu quello sincero ed esatto?» e poi chiedo a un'altra persona «Sei tu quello sincero ed esatto?», sto ponendo in realtà due domande diverse, perché la stessa parola, tu, si riferisce nei due casi a persone differenti.

Da 5000 anni avanti Cristo ... e altre fantasie filosofiche, Zanichelli, 1987