14.2.17

Tra fiocchi di neve e caos della finanza. Benoît Mandelbrot e l'enigma dei frattali (Piero Bianucci)

Benoît Mandelbrot
Da “La Stampa” di qualche anno fa riprendo il necrologio del matematico Mandelbrot, un buon esempio di divulgazione, rapida, non noiosa, capace di suscitare curiosità e voglia di approfondire nel lettore generico, non specialista o appassionato di matematiche. (S.L.L.)
L'insieme di Mandelbrot
È un frattale il profilo di una montagna, la forma di una nuvola, la costa di un continente, il battito del cuore con le sue aritmie, il percorso di un granello di polvere che galleggia sull’acqua, l’andamento dei mercati finanziari, la forma di un fiocco di neve, persino la distribuzione delle galassie nell’universo. Benoît Mandelbrot, padre del concetto di frattale (dal latino «fractus», spezzato), questo strumento della matematica così multiforme, è morto giovedì scorso a Cambridge nel Massachusetts (Usa), ma solo ieri il New York Times ne ha dato notizia. Il suo lavoro ha generato un campo nuovo della geometria, che ha permesso di esplorare la teoria del caos e di creare un filone dell’arte moderna. Ma che ha avuto anche applicazioni pratiche: per esempio nel disegno dei cartoni animati.
Nato a Varsavia 85 anni fa da una famiglia ebrea di origine lituana, diventato cittadino francese per sfuggire alla persecuzione antisemita di Hitler, aveva infine acquisito la cittadinanza americana. A Parigi aveva studiato all’École Politechnique. Laureatosi in matematica, era passato al California Institute of Technology e aveva insegnato in varie università europee. I lavori scientifici più importanti, quelli che hanno fondato la geometria dei frattali, risalgono però al periodo trascorso alla Ibm. Per buon motivo: le figure frattali sono il risultato di formule relativamente semplici ma i cui risultati vengono continuamente reinseriti nel processo di calcolo come in un infinito gioco di specchi, e questo meccanismo ricorsivo, che porrebbe molti problemi a un matematico in carne e ossa, è invece facilissimo per un computer.
La geometria euclidea ci ha abituati a forme perfette e ideali: linee rette, sfere, cubi, cilindri, coni. Ma la linea di una costa non è una retta, le noci non sono sfere, le montagne non sono coni. La natura non è fatta di forme ideali, le sue strutture sono solo approssimazioni di queste forme. Se vogliamo descrivere fedelmente la natura bisogna ricorrere ad una geometria che sappia tener conto delle irregolarità: e questo fa la geometria dei frattali.
Gli Oggetti frattali (è il titolo di un libro che Mandelbrot scrisse nel 1973, pubblicato in Italia da Einaudi) hanno due caratteristiche: sono autosomiglianti e hanno una dimensione frazionaria. Sono autosomiglianti quelle forme che sembrano uguali o quasi ma hanno scale diverse: per esempio la cima del Cervino e un sasso appuntito, un cavolfiore e un rametto dello stesso cavolfiore. La dimensione frazionaria è l’altra proprietà di questi oggetti: mentre le linee hanno una sola dimensione, le superfici due e i volumi tre, gli oggetti frattali hanno dimensioni intermedie: per esempio 1,4 o 2,2 e così via.
L’«insieme di Mandelbrot» è un frattale di straordinaria complessità ed eleganza che deriva da una formula ideata dal matematico di origine polacca. In esso la stessa forma ritorna su una eccezionale varietà di scale diverse, fino a sfumare in un meraviglioso caos ordinato. Si può guardare l’immagine dell’insieme di Mandelbrot come un’opera d’arte, oppure utilizzarne la formula per esplorare i comportamenti caotici della natura, nel tentativo di trovare una regola nascosta nella loro imprevedibilità.
Parlare di Mandelbrot come del padre dei frattali è però una forzatura. Il primo frattale fu la «polvere di Cantor», cioè un insieme casuale di moltissimi punti. Un altro antenato è la «curva di Giuseppe Peano» con la quale il matematico cuneese costruì un quadrato completamente riempito da una curva a «greca». Certamente un fondamento dei frattali è la forma a farfalla dell’«attrattore strano» scoperto dal meteorologo e matematico Edward Lorenz mentre cercava di simulare al computer una perturbazione atmosferica. E vero però che Mandelbrot ha dato della geometria frattale una formulazione organica e coerente. Altrettanto vero è che non avrebbe potuto farlo senza l’aiuto del computer. Se i frattali hanno più di un padre, senza dubbio hanno una sola madre: l’informatica.


La Stampa, domenica 17.10.2010

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